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Stan: はずれ値をあつかう [統計]

『ベイズモデリングの世界』講義3の はずれ値のモデルをStanでやってみました。

Rコードです。データの生成と、はずれ値がない場合とある場合の回帰、グラフの描画までをおこないます。

library(ggmcmc)
library(rstan)
options(mc.cores = parallel::detectCores())
rstan_options(auto_write = TRUE)

set.seed(20180308)
N <- 36
X <- runif(N, 0, 20)
Y <- X + rnorm(N, 0, 1)

## はずれ値
N2 <- 4
X2 <- c(X, runif(N2, 0, 10))
Y2 <- c(Y, rnorm(N2, 40, 2))

summary(lm(Y ~ X))
summary(lm(Y2 ~ X2))

data.frame(X = X2, Y = Y2) %>%
ggplot(mapping = aes(X, Y)) +
  geom_point()

このようなデータになります。
Rplot1.png

はずれ値のない場合と、ある場合の回帰の結果です。

> summary(lm(Y ~ X))

Call:
lm(formula = Y ~ X)

Residuals:
     Min       1Q   Median       3Q      Max 
-2.32861 -0.59270 -0.02385  0.61868  1.74987 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  0.26896    0.29384   0.915    0.366    
X            0.98001    0.02641  37.103   <2e-16 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 0.8527 on 34 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.9759,	Adjusted R-squared:  0.9752 
F-statistic:  1377 on 1 and 34 DF,  p-value: < 2.2e-16

> summary(lm(Y2 ~ X2))

Call:
lm(formula = Y2 ~ X2)

Residuals:
    Min      1Q  Median      3Q     Max 
-12.599  -5.958  -2.696   1.553  29.166 

Coefficients:
            Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)  11.7585     3.1425   3.742 0.000603 ***
X2            0.1192     0.2972   0.401 0.690652    
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 10.62 on 38 degrees of freedom
Multiple R-squared:  0.004214,	Adjusted R-squared:  -0.02199 
F-statistic: 0.1608 on 1 and 38 DF,  p-value: 0.6907

Stanのコードです。このモデルではpを はずれ値である確率としました。はずれ値は、幅のひろい一様分布から生成されたとしています。Stanでは離散パラメーターが つかえないので、周辺化してあります。

data {
  int<lower = 0> N;
  vector[N] X;
  vector[N] Y;
}

parameters {
  real alpha;
  real beta;
  real<lower = 0> sigma;
  real<lower = 0, upper = 1> p;
}

model {
  for (n in 1:N) {
    real lp[2];
    lp[1] = bernoulli_lpmf(0 | p)
      + normal_lpdf(Y[n] | alpha + beta * X[n], sigma);
    lp[2] = bernoulli_lpmf(1 | p)
      + log(1.0e-4);
    target += log_sum_exp(lp);
  }
  alpha ~ normal(0, 10);
  beta ~ normal(0, 10);
  sigma ~ normal(0, 10);
}

RからStanを実行します。

stan_data <- list(N = length(X2),
                  X = X2,
                  Y = Y2)
fit <- stan("outlier.stan",
            data = stan_data,
            iter = 2000, warmup = 1000, thin = 1)
print(fit)

結果です。

Inference for Stan model: outlier.
4 chains, each with iter=2000; warmup=1000; thin=1; 
post-warmup draws per chain=1000, total post-warmup draws=4000.

        mean se_mean   sd    2.5%    25%    50%    75%  97.5% n_eff Rhat
alpha   0.27    0.01 0.30   -0.33   0.07   0.27   0.47   0.85  2276    1
beta    0.98    0.00 0.03    0.93   0.96   0.98   1.00   1.03  2354    1
sigma   0.88    0.00 0.11    0.70   0.81   0.87   0.95   1.12  2603    1
p       0.12    0.00 0.05    0.04   0.09   0.12   0.15   0.23  2725    1
lp__  -98.66    0.03 1.37 -102.04 -99.34 -98.37 -97.62 -96.94  1699    1

alpha, beta, sigmaの事後平均は、はずれ値をのぞいた回帰の値とちかくなっています。

つづいて、pを、各データについて推定してみました。

data {
  int<lower = 0> N;
  vector[N] X;
  vector[N] Y;
}

parameters {
  real alpha;
  real beta;
  real<lower = 0> sigma;
  vector<lower = 0, upper = 1>[N] p;
}

model {
  for (n in 1:N) {
    real lp[2];
    lp[1] = bernoulli_lpmf(0 | p[n])
      + normal_lpdf(Y[n] | alpha + beta * X[n], sigma);
    lp[2] = bernoulli_lpmf(1 | p[n])
      + log(1.0e-4);
    target += log_sum_exp(lp);
  }
  alpha ~ normal(0, 10);
  beta ~ normal(0, 10);
  sigma ~ normal(0, 10);
}

Rコードです。

fit2 <- stan("outlier2.stan",
            data = stan_data,
            iter = 2000, warmup = 1000, thin = 1)
print(fit2)
ggs(fit2) %>%
ggs_caterpillar(family = "^p")

pの事後分布です。実際に、はずれ値では はずれ値の確率がたかくなっています。
Rplot2.png

ただし、容易に想像されるとおり、はずれ値が 正しいデータの値にちかくなると、うまくはずれ値と推定されなくなります。その場合はさらに工夫が必要になるでしょう。


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